算数の授業で「円の面積」の求め方を考える授業が行われました。

子どもたちが既習の知識を総動員し、見事、円の面積の公式「半径 $\times$ 半径 $\times$ 円周率」を導き出す様子は、まさに数学的な探究の醍醐味を感じさせる時間となりました。

「なぜ、その公式なの？」からのスタート

授業は、「円の面積はどうやって求めればいいのだろう？」という問いかけから始まりました。中には予習で公式を知っている子もいましたが、先生はあえて「なぜその公式になるのか」という根源的な問いを提示しました。

子どもたちは、今まで学習した長方形や三角形、平行四辺形といった「既習の図形」の面積の求め方を使えないかと考え始めます。最初は方眼紙を使ってマス目を数えておおよその見当をつけたり、円に内接・外接する正方形の面積から、円の面積が「半径を1辺とする正方形の面積の2倍より大きく、4倍より小さい」ことを確認したりしました。

円の「等積変形」に挑戦！

いよいよ授業のクライマックスです。子どもたちは、円を細かく分けて形を変える「等積変形」の考え方を使って、円の面積を求められる図形に変形することに挑みました。

1. 円を扇形に分割：まず、円を16等分、32等分といった具合に、同じ大きさの扇形にどんどん細かく分割していきます。

2. 並べ替えで長方形（または平行四辺形）に近づける：分割した扇形を、互い違いになるように並べ替えていくと、その形はだんだん長方形（あるいは平行四辺形）に近づいていくことに気付きます。

3. 公式の発見：この長方形（または平行四辺形）の面積を求めることで、円の面積が導き出されます。

   • 長方形のたての長さは、扇形の半径（円の半径）にあたります。

   • 長方形のよこの長さは、扇形の弧の長さ（円周の半分）にあたります。

よって、長方形の面積は「たて $\times$ よこ」ですから、「半径 $\times$ （円周 $÷$ 2）」となります。さらに円周の公式「直径 $\times$ 円周率」や「半径 $\times 2\times$ 円周率」を代入することで、ついに「半径 $\times$ 半径 $\times$ 円周率」という円の面積の公式を、自分たちの力で導き出すことができました。

探究の楽しさを実感

複雑に思える円の面積の公式も、細かく分割して既習の図形に当てはめて考えることで、論理的に理解できることが分かりました。

子どもたちからは「分けるほど、長方形にぴったりになっていくのが面白かった！」「ただ公式を覚えるだけじゃなくて、なんでそうなるのかが分かってスッキリした」といった声が聞かれ、「考える楽しさ」や「数学の美しさ」を実感した様子でした。

この探究の経験が、今後の学習への大きな意欲につながることでしょう。